Λογοτεχνία & Μαθηματικά

Συνδυάζοντας το προοίμιο της «Ιλιάδας» με το απόφθεγμα του Πυθαγόρα «Σχάμα και βάμα», που σε ελεύθερη μετάφραση σημαίνει «κάθε νέο σχήμα είναι ένα βήμα προς τη γνώση», η στήλη φιλοδοξεί να ασχοληθεί με τους τρόπους που οι τέχνες αναζητούν την έμπνευση στους δαιδάλους των μαθηματικών.

Το έντονο ενδιαφέρον του Μπόρχες για τις θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες και τις φιλοσοφικές τους συνέπειες γίνεται εύκολα αντιληπτό, αφού διατρέχει το σύνολο των κειμένων του. Ωστόσο, καθώς το έργο του είναι από τόσες πολλές απόψεις πρωτοπόρο και σημαντικό, συχνά η μαθηματική του συνιστώσα επισκιάζεται και αποσιωπείται. Θα επιχειρήσουμε εδώ να αναδείξουμε, και ως έναν βαθμό να αναλύσουμε, τη μαθηματική διάσταση στη Βιβλιοθήκη της Βαβέλ, για να γίνει κατανοητό τόσο το εύρος της μαθηματικής γνώσης του Μπόρχες όσο και το βάθος του μαθηματικού προβληματισμού του.
«Το σύμπαν (που άλλοι το λένε Βιβλιοθήκη) αποτελείται από έναν ακαθόριστο, ίσως άπειρο αριθμό εξαγωνικών αιθουσών», μας λέει αρχίζοντας την αφήγησή του ο γηραιός, ανώνυμος βιβλιοθηκάριος. Σοφή επιλογή, αφού, όπως αποδείχθηκε το 1999 από τον Thomas C. Hales, η εξάγωνη δομή είναι η καλύτερη δυνατή για την εξοικονόμηση χώρου και, όπως θα δούμε στη συνέχεια, η βιβλιοθήκη της Βαβέλ χρειάζεται… αρκετό χώρο. Συγκεκριμένα, το θεώρημα του Hales λέει ότι «κάθε διαμέριση του επιπέδου σε ισεμβαδικά χωρία έχει περίμετρο μεγαλύτερη ή ίση αυτής της κανονικής εξαγωνικής κυψέλης». Οι μέλισσες που παράγουν με σωματικές εκκρίσεις το κερί που χρησιμοποιείται στα τοιχώματα της κερήθρας τους είχαν άμεσο ενδιαφέρον να βρουν αυτήν την οικονομικότερη δομή και, απ’ ό,τι φαίνεται, την ανακάλυψαν από την πρώτη στιγμή της παρουσίας τους στη γη. Το ίδιο ισχύει και για τις σφήκες που παράγουν τα οικοδομικά υλικά τους μασώντας και φτύνοντας πέτρες και χώμα. Από το ανθρώπινο είδος, ο πρώτος που έθεσε το πρόβλημα της βέλτιστης διαμέρισης του επιπέδου είναι μάλλον ο Μάρκος Τερέντιος Βάρρων (116-27 π.Χ.). Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (290-350 μ.Χ.) διατύπωσε και ανέλυσε το πρόβλημα στην εισαγωγή του πέμπτου βιβλίου της Συναγωγής του. Το 1941 που γράφτηκε το διήγημα του Μπόρχες, το θεώρημα του Hales ήταν ακόμα μια αναπόδεικτη εικασία, γνωστή ως Εικασία της κυψέλης. Είναι φανερό ότι ο Μπόρχες γνώριζε αυτήν την εικασία, και μάλιστα πίστευε στην εγκυρότητά της (όπως, άλλωστε, και το σύνολο της μαθηματικής κοινότητας, που δεν αμφέβαλλε ότι, αργά ή γρήγορα, κάποιος θα έβρισκε την απόδειξη). Πράγματι, ο αφηγητής του αναφέρει ότι «οι ιδεαλιστές υποστηρίζουν πως οι εξαγωνικές αίθουσες είναι μια αναγκαία μορφή του απόλυτου χώρου» και ότι θα θεωρούσαν αδιανόητη μια αίθουσα διαφορετικού σχήματος.
Σε τέσσερις από τους έξι τοίχους κάθε εξαγωνικής αίθουσας υπάρχουν ερμάρια, πέντε σε κάθε τοίχο, που το καθένα τους χωράει 32 βιβλία ομοιόμορφου σχήματος. Έτσι, σε κάθε αίθουσα φυλάσσονται 4×5×32=640 βιβλία. Πόσα είναι, όμως, τα βιβλία της βιβλιοθήκης; Ο αφηγητής μάς πληροφορεί πως όλα τα βιβλία της βιβλιοθήκης έχουν από 410 σελίδες. Η κάθε σελίδα έχει 40 στίχους και ο κάθε στίχος έχει 80 τυπογραφικά στοιχεία. Έτσι, κάθε βιβλίο είναι μια ακολουθία από 410×40×80=1.312.000 στοιχεία. Ο αριθμός των διαφορετικών συμβόλων είναι 25. Συνεπώς, για καθεμιά από τις 1.312.000 θέσεις της ακολουθίας των συμβόλων του βιβλίου υπάρχουν 25 διαφορετικές επιλογές. Έτσι, το πλήθος των διαφορετικών βιβλίων (διαφορετικά είναι δύο βιβλία αν διαφέρουν έστω και κατά ένα μόνο τυπογραφικό στοιχείο σε μια θέση) είναι το 25 πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του 1.312.000 φορές. Αυτό προκύπτει εύκολα από τον τύπο της συνδυαστικής ανάλυσης για τις επαναληπτικές διατάξεις: αν πρέπει να συμπληρώσω ν θέσεις, με σύμβολα αυθαίρετα επιλεγμένα από μια συλλογή x διαφορετικών συμβόλων, αυτό μπορεί να γίνει με x^ν διαφορετικούς τρόπους.

Για να το κατανοήσουμε, ας πάρουμε ένα παράδειγμα με πολύ μικρότερους αριθμούς. Θέλουμε να δούμε πόσες διαφορετικές λέξεις τριών γραμμάτων μπορούμε να δημιουργήσουμε με τα γράμματα α και β. Έχουμε ν=3 και x=2, άρα, σύμφωνα με τον τύπο, όλες οι διαφορετικές λέξεις θα είναι 2³, δηλαδή 8. Πράγματι, όλες οι δυνατές τέτοιες λέξεις είναι: ααα, ααβ, αβα, βαα, αββ, βαβ, ββα, βββ.
Στην περίπτωση της Βιβλιοθήκης της Βαβέλ τα βιβλία είναι «λέξεις» με 1.312.000 στοιχεία (ν=1.312.000), που κάθε γράμμα τους επιλέγεται από 25 διαφορετικά σύμβολα: 22 γράμματα του εβραϊκού αλφαβήτου, την τελεία, το κόμμα και το κενό διάστημα (x=25). Έτσι έχουμε 25^1.312.000 διαφορετικά βιβλία.
Έμμεσα ο συγγραφέας μάς προτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον συγκεκριμένο μαθηματικό κλάδο, αφού πιο πάνω αναφέρει: «Πεντακόσια χρόνια πριν, ο επικεφαλής ενός ανώτερου εξαγώνου έπεσε σ’ ένα βιβλίο…» του οποίου «…αποκρυπτογραφήθηκε και το περιεχόμενο: έννοιες συνδυαστικής ανάλυσης, διανθισμένες με παραδείγματα παραλλαγών με απεριόριστες επαναλήψεις». Επίσης, ο αφηγητής μάς βεβαιώνει ότι στη βιβλιοθήκη υπάρχουν όλα τα δυνατά βιβλία (ο ίδιος αναζήτησε, όταν ήταν νέος, τον κατάλογο όλων των καταλόγων – μία ακόμη αναφορά στα παράδοξα της θεωρίας των συνόλων για τα οποία δείχνει ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε άλλα του διηγήματα). Αφού μας διαβεβαιώνει, επίσης, ότι «στην αχανή βιβλιοθήκη δεν υπάρχουν δυο βιβλία πανομοιότυπα», το πλήθος των βιβλίων είναι αυτό ακριβώς που υπολογίσαμε: 25^1.312.000 τόμοι. Για να πάρουμε μια ιδέα πόσο μεγάλος είναι αυτός ο «ιλιγγιώδης αλλά όχι άπειρος» αριθμός, αξίζει να τον συγκρίνουμε με διάφορα άλλα … αστρονομικά μεγέθη:

• Μια ακτίνα φωτός, που διανύει 300.000 χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο, χρειάζεται μόλις 93 δισεκατομμύρια (93.000.000.000 ή 93×10⁹) χρόνια για να διασχίσει το ορατό σύμπαν από τη μια άκρη στην άλλη.
• Το πλήθος των άστρων στο παρατηρήσιμο σύμπαν είναι μικρότερο από 10²⁴, δηλαδή το 1 ακολουθούμενο από μόλις 24 μηδενικά.
• Το πλήθος των ατόμων που απαρτίζουν το παρατηρήσιμο σύμπαν είναι ανάμεσα σε 10⁷⁸ και 10⁸². Έτσι, τα βιβλία της Βιβλιοθήκης της Βαβέλ είναι εκατομμύρια φορές περισσότερα από τα άτομα του σύμπαντος!

Για να υπολογίσουμε τον αριθμό των αιθουσών της βιβλιοθήκης δεν έχουμε παρά να διαιρέσουμε τον συνολικό αριθμό των βιβλίων με τον αριθμό των βιβλίων που περιέχει κάθε αίθουσα. Εδώ, όμως, υπάρχει μια μικρή δυσκολία: προς το τέλος του διηγήματος, ο αφηγητής ξεχνά ότι μας έχει πει πως μόνο τέσσερις από τους τοίχους των εξαγωνικών αιθουσών έχουν ερμάρια (κάτι που αντιστοιχεί όπως είδαμε σε 640 βιβλία ανά αίθουσα) και αναφέρεται σε τριάντα ερμάρια ανά αίθουσα – πέντε σε κάθε έναν από τους έξι τοίχους και, συνεπώς, 5·6·32= 960 βιβλία ανά αίθουσα. Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός των δωματίων είναι τεράστιος. Οι αριθμοί που φαντάζεται ο Μπόρχες ανταγωνίζονται σε μέγεθος αυτούς που περιγράφει ο Αρχιμήδης στον Ψαμμίτη, έργο που ο αρχαίος σοφός συνέταξε για να ανακαλύψει μεθόδους παράστασης τεράστιων αριθμών. Αν μη τι άλλο, ο τίτλος του διηγήματος Βιβλίο από άμμο πρέπει να είναι εμπνευσμένος από εκεί.

Όσο μεγάλος, όμως, και αν είναι ο αριθμός των βιβλίων και των αιθουσών της βιβλιοθήκης, δεν αρκεί για να ικανοποιήσει τις προσδοκίες του αφηγητή, που θα ήθελε η Βιβλιοθήκη να είναι απέραντη: «Εγώ προτιμώ να ονειρεύομαι πως οι στιλβωμένες επιφάνειες εικονίζουν και υπόσχονται το άπειρο...» Του φαίνεται παράλογο τα εξάγωνα κάπου να τελειώνουν, έστω κι αν αυτό το κάπου είναι τόσο μακριά, που μόνο νοητά μπορεί να το προσεγγίσει. Στην προσπάθειά του να δικαιολογήσει τη δυνατότητα ύπαρξης του απείρου, ο αφηγητής καταφεύγει σε μια λύση εξαιρετικά φτωχή, τόσο από μαθηματική, όσο και από ιστορική άποψη: 
«…Τολμώ να υπαινιχθώ την εξής λύση στο πανάρχαιο πρόβλημα: Η Βιβλιοθήκη είναι απεριόριστη και περιοδική. Αν ένας αιώνιος ταξιδιώτης τη διέσχιζε προς μια οποιαδήποτε κατεύθυνση, οι αιώνες θα του δίδασκαν κάποτε πως οι ίδιοι τόμοι επαναλαμβάνονται με την ίδια αταξία…»
Η περιοδικότητα, όμως, δεν είναι παρά μια επίπλαστη, μηχανιστική θεώρηση του απείρου: Ο αριθμός 0,3333…, με το τρία να επαναλαμβάνεται άπειρες φορές περιοδικά, δεν είναι τίποτε άλλο από το πεπερασμένο 1/3, όπως και το 0,262626… δεν είναι παρά το 3/11. Πιστεύω πως αυτή η αδύναμη προσέγγιση του απείρου εισάγεται εσκεμμένα από τον συγγραφέα, για να υποστηρίξει ακόμα καλύτερα την τελική ανατροπή που έρχεται, κατά την προσφιλή συνήθεια του Μπόρχες, με τη μορφή υποσημείωσης. Στη τελευταία υποσημείωση, λοιπόν, η Λετισία Άλβαρες ντε Τολέδο ανατρέπει την θεώρησή της «προς τα έξω» επέκτασης του απείρου, εισάγοντας την επέκταση «προς τα μέσα». Τη θέση της αχανούς βιβλιοθήκης έρχεται να καταλάβει «ένας μόνο τόμος, κανονικού σχήματος, τυπωμένος με στοιχεία των εννέα ή δέκα στιγμών, που θα περιείχε έναν άπειρο αριθμό απείρως λεπτών φύλλων».^[1] Ο συγγραφέας στηρίζει την ιδέα του στα «άτμητα» του Μποναβεντούρα Καβαλιέρι (1598-1647). Είναι μία ακόμα ευκαιρία για τον Μπόρχες να παίξει με τον δυισμό άπειρου-απειροστού. Όμως, η ιστορία πηγαίνει πολύ πιο μακριά: αυτή η «κάθε εμφανής σελίδα», που «θα ξεδιπλωνόταν σε άλλες, ανάλογες», παραπέμπει στα δυναμοσύνολα του Κάντορ, στις πολλαπλές φύσεις του απείρου και στην Υπόθεση του Συνεχούς. Επίσης, ο νους του σημερινού αναγνώστη δεν μπορεί παρά να ταξιδέψει στα φράκταλ, αντικείμενα με κλασματική διάσταση, τα οποία, μέσω της «αυτοομοιότητας υπό κλίμακα», αναπαράγουν την ιδέα τού «προς τα μέσα απείρου». Και, βέβαια, δεν μπορεί παρά θαυμάσει τη βαθιά μαθηματική ενόραση του Μπόρχες που τον οδήγησε σε αυτούς τους πολλαπλούς, άπειρους κόσμους, τους οποίους ο ίδιος αρεσκόταν να κρύβει πίσω από έναν πλασματικά απλοϊκό λόγο.

ΒΡΕΙΤΕ ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΟΥ Χόρχε Λουίς Μπόρχες ΣΤΟΝ ΙΑΝΟ