Σχάμα ἄειδε θεά

Συνδυάζοντας το προοίμιο της Ιλιάδας με το απόφθεγμα του Πυθαγόρα «Σχάμα και  βάμα» που σε ελεύθερη μετάφραση σημαίνει «κάθε νέο σχήμα είναι ένα βήμα προς τη γνώση» η στήλη φιλοδοξεί να ασχοληθεί με τους  τρόπους που οι τέχνες αναζητούν την έμπνευση στους δαιδάλους των μαθηματικών

«Χριστούγεννα και χιονιάς πάντα πάνε μαζί» μας έγραψε ο Φώτης Κόντογλου (Χριστούγεννα στη σπηλιά), εκφράζοντας μια πάγια και ευρύτατα διαδεδομένη αντίληψη. Πράγματι, στη σκέψη και τη συνείδηση όλων μας Χριστούγεννα και Πρωτοχρονιά είναι συνδέονται άρρηκτα με το χιόνι. Βοηθούντος μάλιστα και του παγκοσμιοποιημένου πια ρεπερτορίου τραγουδιών και εικόνων τα «λευκά Χριστούγεννα» είναι τα μόνα αποδεκτά. Εικόνες από το νότιο ημισφαίριο που δείχνουν τον Άη Βασίλη να καταφθάνει με τζετ σκι και να κόβει τη βασιλόπιττα τριγυρισμένος από ηλιοκαμένους λουόμενους στην παραλία, παρουσιάζονται στις εφημερίδες και την τηλεόραση μόνο ως παράξενα και αξιοπερίεργα της εποχής.

Χριστούγεννα λοιπόν χωρίς χιονονιφάδες, φυσικές ή τεχνητές δεν είναι καν Χριστούγεννα, τουλάχιστον για μας τους κατοίκους του βορείου ημισφαιρίου. Η ίδια η λέξη Χριστούγεννα φέρνει αυτόματα στο νου μας μικρές λευκές τούφες με ακανόνιστο σχήμα να στροβιλίζονται στον αέρα και να μας παγώνουν ευχάριστα το πρόσωπο. Μικρές λευκές τούφες με ακανόνιστο σχήμα; Όχι ακριβώς! Αλήθεια έχετε ποτέ παρατηρήσει από κοντά χιονονιφάδες, ενδεχομένως και με τη βοήθεια ενός φακού; Αν όχι κάντε το. Αξίζει τον κόπο. Θα διαπιστώσετε πως οι χιονονιφάδες δεν είναι ακανόνιστες μπαλίτσες από στερεοποιημένο νερό, δεν είναι τυχαία μικροσκοπικά παγάκια. Το σχήμα τους, παρά την τεράστια ποικιλία των παραλλαγών ως προς τις λεπτομέρειες, έχει μια σαφώς καθορισμένη βασική δομή: το κανονικό εξάγωνο. Είμαστε συνηθισμένοι να δημιουργούμε παγάκια σε οποιοδήποτε σχήμα, φτάνει να βάλουμε στην κατάψυξη το νερό μέσα στο κατάλληλο καλούπι. Οι νιφάδες όμως του χιονιού δημιουργούνται ελεύθερα στη φύση, χωρίς καλούπι. Τι είναι λοιπόν αυτό που τις αναγκάζει να υιοθετούν την εξαγωνική δομή;

Πρώτος έθεσε αυτό το ερώτημα ο Γερμανός αστρονόμος και μαθηματικός Γιοχάνες Κέπλερ. Τα Χριστούγεννα του 1611 δώρισε στο φίλο και προστάτη του Ματθαίο Ουόκερ μια μικρή πραγματεία με τίτλο «Σχετικά με τις εξαγωνικές χιονονιφάδες». Παρόλο που οι σημερινές μας γνώσεις για την κρυσταλλική δομή των μορίων δεν ήταν τότε διαθέσιμες, ο Κέπλερ, διατυπώνει στην πραγματεία του τη θέση ότι η μορφή των νιφάδων δεν δημιουργείται τυχαία, αλλά πρέπει να οφείλεται σε κάποιο γενικό φυσικό νόμο.
Εικοσιπέντε χρόνια αργότερα ο Γάλλος φιλόσοφος Ρενέ Ντεκάρτ γράφει: «Είναι πολύ μικρά φύλλα πάγου, πολύ γυαλιστερά, πολύ διαφανή και έχουν το πάχος ενός μάλλον χοντρού φύλλου χαρτί… Τα εξάγωνα είναι τόσο τέλεια σχηματισμένα, οι έξι πλευρές τους τόσο ευθύγραμμες, οι έξι γωνίες τους τόσο ίσες μεταξύ τους που μοιάζει αδύνατο να μπορέσει ποτέ ο άνθρωπος να δημιουργήσει κάτι με τόση ακρίβεια… Αναρωτιέμαι τι θα μπορούσε να δημιουργήσει τόσο τέλεια συμμετρικά σχήματα και μάλιστα στο μέσο μιας καταιγίδας με πολύ ισχυρό άνεμο…». Ας επισημάνουμε βέβαια ότι οι παρατηρήσεις του Κέπλερ όπως και του Ντεκάρτ γίνονταν διά γυμνού οφθαλμού.
Ο πρώτος που μελέτησε τις χιονονιφάδες (και ότι άλλο έπεσε στα χέρια του) με τη βοήθεια του μικροσκοπίου ήταν ο κορυφαίος επιστήμονας και ορκισμένος εχθρός του Νεύτωνα, ο Ρόμπερτ Χουκ. Σ’ ένα τεράστιο έργο με τίτλο Μικρογραφία (1665) ο Χουκ παραθέτει σκίτσα αντικειμένων που παρατήρησε με το μικροσκόπιο, τη μεγάλη εφεύρεση της εποχής. Στα σκίτσα του Χουκ αναδεικνύεται η τεράστια ποικιλομορφία στη λεπτομέρεια αλλά και η θεμελιώδης εξαγωνική δομή των χιονονιφάδων.
Η πρώτη συστηματική φωτογράφηση των χιονονιφάδων έγινε από τον Ουίλσον Άλγουιν Μπέντλεϊ (1865 - 1931), έναν αγρότη από το Βερμόντ των ΗΠΑ. Tο βιβλίο του Snow Crystals περιέχει 2.000 φωτογραφίες χιονονιφάδων. Η θεμελιώδης εξαγωνική δομή είναι παντού εμφανής.
Ωστόσο το βασικό ερώτημα του πώς διαμορφώνεται το σχήμα των χιονονιφάδων παρέμεινε ανοικτό μέχρι το 1954, οπότε και ασχολήθηκε με αυτό ο πυρηνικός φυσικός Ουκιχίρο Νακάγια ο οποίος όχι μόνο ανέλυσε την κρυσταλλική δομή του πάγου η οποία ευθύνεται για την εξαγωνική συμμετρία που είναι το κοινό χαρακτηριστικό όλων των χιονονιφάδων αλλά και ταξινόμησε τις διάφορες νιφάδες σε βασικές κατηγορίες. Ως επαλήθευση της ορθότητας της ανάλυσής του, ο Ουκιχίρο μπόρεσε να παραγάγει τεχνητά στο εργαστήριο χιονονιφάδες με προκαθορισμένη μορφή.
Πολύ πριν οι πυρηνικοί φυσικοί καταφέρουν να παρασκευάσουν χιόνι στο εργαστήριο, οι μαθηματικοί είχαν επεξεργαστεί μια μαθηματική χιονονιφάδα, ως ένα από τα νέα γεωμετρικά αντικείμενα που έχουν κλασματική διάσταση. Πιο συγκεκριμένα, το 1904, ο Σουηδός μαθηματικός Χέλγκε φον Κοχ δημοσίευσε ένα άρθρο με τίτλο «Σχετικά με μια συνεχή καμπύλη, χωρίς εφαπτόμενες, κατασκευάσιμη με στοιχειώδη γεωμετρία».

Ξεκινάμε από ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Χωρίζουμε την κάθε πλευρά του σε τρία ίσα μέρη και κατασκευάζουμε, με βάση το μεσαίο τμήμα, στο εξωτερικό του αρχικού τριγώνου, άλλα τρία ισόπλευρα τρίγωνα. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία σε καθένα από τα μικρότερα τρίγωνα που έχουν προκύψει. Αν συνεχίσουμε να κάνουμε το ίδιο επ’ άπειρον θα προκύψει μια καμπύλη με εντυπωσιακές ιδιότητες: Έχει πεπερασμένο εμβαδόν αφού χωράει μέσα στον κύκλο που είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο, αλλά έχει άπειρη περίμετρο! Η διάστασή της είναι log4/log3 δηλαδή περίπου 1,262 – λίγο παραπάνω από τη διάσταση 1 της απλής γραμμής και αρκετά λιγότερο από τη διάσταση 2 των επίπεδων σχημάτων. Η βασική εξαγωνική δομή είναι εμφανής, όπως και η ομοιότητά της με τις φυσικές χιονονιφάδες.
Σήμερα, λόγω της υπερθέρμανσης του πλανήτη, έργο αποκλειστικά του ανθρώπου, το χιόνι γίνεται όλο και πιο σπάνιο, τα λευκά Χριστούγεννα όλο και περισσότερο μύθος, όλο και λιγότερο απτή πραγματικότητα. Ίσως σε λίγο καιρό χιόνι θα παράγεται μόνο στο εργαστήριο, χάρη στη μέθοδο του Νακάγια. Με την ελπίδα ότι οι άνθρωποι και κυρίως αυτοί που έχουν την ευχέρεια λήψης αποφάσεων θα συνέλθουν γρήγορα από τον αυτοκαταστροφικό παραλογισμό τους, δεν έχουμε παρά να ευχηθούμε στους αναγνώστες μας Καλή Χρονιά.

INFO: Το βιβλίο του Ian Stewart Οι μυστικοί αριθμοί, εκδ. Τραυλός, περιγράφει και εξηγεί τον τρόπο σχηματισμού των σχημάτων στη φύση, τα «εγγενή» δηλαδή μαθηματικά του σύμπαντος. Με εξαιρετικά εύληπτα κείμενα και πλούσια εικονογράφηση, αποτελεί –μέρες που είναι– ιδανικό δώρο για όλες τις ηλικίες. Ακόμα, στην ιστοσελίδα http://www.snowflakebentley.com θα βρείτε πολλές από τις πρωτότυπες φωτογραφίες του Ουίλσον Μπέντλεϊ.