Λογοτεχνία & Μαθηματικά

Συνδυάζοντας το προοίμιο της «Ιλιάδας» με το απόφθεγμα του Πυθαγόρα «Σχάμα και βάμα», που σε ελεύθερη μετάφραση σημαίνει «κάθε νέο σχήμα είναι ένα βήμα προς τη γνώση», η στήλη φιλοδοξεί να ασχοληθεί με τους τρόπους που οι τέχνες αναζητούν την έμπνευση στους δαιδάλους των μαθηματικών.

Για το πολυβραβευμένο και πολυμεταφρασμένο Υπό το φως των όσων γνωρίζουμε του Zia Haider Rahman (στα ελληνικά από τις εκδόσεις Πόλις) έχουν γραφεί άφθονες κριτικές που φωτίζουν και αναλύουν το μυθιστόρημα από όλες του σχεδόν τις πλευρές. Πιστεύω, ωστόσο, πως μια σημαντική παράμετρος του έργου έχει υποεκτιμηθεί ή ίσως και παντελώς αγνοηθεί. Σίγουρα μπορεί κανείς να απολαύσει αυτό το πρώτο μυθιστόρημα του Βρετανομπαγκλαντεσιανού συγγραφέα χωρίς να κατανοήσει ή έστω και αντιληφθεί τον ρόλο που διαδραματίζει στη δομή του το θεώρημα του Γκέντελ – ενδεχομένως, μάλιστα, και να αδιαφορήσει για τις είκοσι περίπου διάσπαρτες αναφορές στο θεώρημα του Αυστροαμερικανού μαθηματικού. Δεν αποκλείεται να παραμείνει ασυγκίνητος ακόμα και από τον τίτλο του καθοριστικής σημασίας προτελευταίου κεφαλαίου του βιβλίου – άλλωστε, όταν η πλοκή φτάνει στην κορύφωση, σπανίως εξετάζουμε τους τίτλους. Νομίζω, όμως, ότι μια ανάγνωση του έργου, με φόντο το θεώρημα της μη πληρότητας, θα ρίξει διαφορετικό φως στην ενότητα των στοχασμών και στο νοηματικό πλαίσιο του συγγραφέα.

Από τις πρώτες σελίδες, ο Ζαφάρ, ο κεντρικός ήρωας του βιβλίου, χτισμένος στο πρότυπο του ίδιου του συγγραφέα –όπως μπορεί εύκολα να διαπιστώσει κανείς παραβάλλοντας τη βιογραφία του με την αφήγηση– δηλώνει χωρίς δισταγμό ότι το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Γκέντελ είναι «τα ωραιότερα μαθηματικά που έχει συναντήσει ποτέ στον δρόμο του». Ήδη ο χαρακτηρισμός ενός μαθηματικού θεωρήματος ως «ωραίου» ή «μη ωραίου» ξενίζει, αφού η λεγόμενη «κορωνίδα των επιστημών» είθισται να χαρακτηρίζεται ως «δύσκολη», «στρυφνή», «απρόσιτη» ή ακόμα και «περιττή», σπάνια όμως της αποδίδονται αισθητικά χαρακτηριστικά, είτε με θετικό είτε με αρνητικό πρόσημο. Έτσι, με δεδομένη την πληθώρα και την ποικιλία των εικόνων που πλαισιώνουν τον μύθο, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει αυτήν τη δήλωση ως δευτερεύον στοιχείο του ντεκόρ, μιαν ανεπαίσθητη πινελιά για να γίνει ο κεντρικός ήρωας πιο περίπλοκος και πιο μυστηριώδης: δεν έχει απλώς σπουδάσει μαθηματικά στην Οξφόρδη –παρακάμπτοντας τεράστια οικονομικά και κοινωνικά εμπόδια– αλλά, μέσα στα τρία χρόνια των σπουδών του, έχει σχηματίσει άποψη σχετικά με την αισθητική των μαθηματικών και έχει επιλέξει το κατά τη γνώμη του ωραιότερο κομμάτι τους· και αντί αυτό το ωραιότερο κομμάτι να είναι μια τετριμμένη επιλογή –το Πυθαγόρειο Θεώρημα, η χρυσή τομή, η συμμετρία, λέξεις γνωστές αν όχι οικείες στον αναγνώστη–, επιλέγεται το θεώρημα της μη πληρότητας, θεώρημα παντελώς άγνωστο στη συντριπτική πλειονότητα των αναγνωστών, που φέρει στον τίτλο του μια λέξη αρκούντως φορτισμένη ώστε να προσδώσει περαιτέρω λάμψη στον χαρακτήρα.

Θα επιχειρήσω να αποδείξω ότι η σχέση του θεωρήματος με τον μύθο είναι πολύ πιο βαθιά και ουσιαστική. Πρώτα, όμως, ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε –περιγραφικά έστω– το νόημα και τη σημασία του θεωρήματος του Γκέντελ.

Από τον καιρό του Ευκλείδη, κάθε έγκυρη μαθηματική θεωρία οφείλει να ακολουθεί τη λεγόμενη «αξιωματική-παραγωγική δομή»: αρχικά επιλέγονται κάποιες προτάσεις που γίνονται δεκτές χωρίς απόδειξη – τα λεγόμενα «αξιώματα». Αξιώματα, στην κλασική γεωμετρία, για παράδειγμα, είναι ισχυρισμοί όπως «Δύο διαφορετικά σημεία ορίζουν πάντοτε μία ευθεία», ή «με δεδομένο ένα σημείο και ένα μήκος, υπάρχει ένας και μόνο κύκλος με κέντρο αυτό το σημείο και ακτίνα αυτό το μήκος». Αντίστοιχα στην αριθμητική, αξίωμα είναι ότι «κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν και μόνο επόμενο». Αφού επιλεγούν τα αξιώματα, όλες οι άλλες προτάσεις οφείλουν να αποδεικνύονται με χρήση των κανόνων της Αριστοτέλειας λογικής και με βάση τα αξιώματα ή τις προτάσεις που έχουν ήδη αποδειχθεί.

Επί αιώνες, η κρατούσα αντίληψη ήταν ότι τα αξιώματα είναι «αυτονόητες» ή «οικουμενικά αποδεκτές» προτάσεις που κανείς δεν θα είχε τη διάθεση να αμφισβητήσει. Κατά τον 19ο αιώνα, όμως, οπότε έκαναν την εμφάνισή τους αξιώματα που θεμελίωναν γεωμετρίες διαφορετικές από αυτήν του Ευκλείδη –οι οποίες αποδείχθηκαν όχι μόνο έγκυρες, αλλά και ικανές να περιγράψουν κάποιες όψεις του σύμπαντος πολύ πιο αποτελεσματικά–, η αντίληψη για το τι είναι ένα αξιωματικό σύστημα άλλαξε ριζικά: ένα αξιωματικό σύστημα είναι μια οποιαδήποτε επιλογή προτάσεων που γίνονται δεκτές χωρίς απόδειξη. Τίθεται μία, μοναδική προϋπόθεση: το αξιωματικό σύστημα οφείλει να είναι συνεπές, να εξασφαλίζεται, δηλαδή, ότι από τα αξιώματά του δεν είναι δυνατόν να προκύψουν δυο αντιφατικές προτάσεις – για παράδειγμα, δεν είναι δυνατόν να αποδεικνύονται ταυτόχρονα οι προτάσεις «το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°» και «υπάρχει τρίγωνο με άθροισμα γωνιών 170°».

Πέρα από το καθοριστικό ερώτημα της συνέπειας, τίθεται και ένα δεύτερο ερώτημα, αυτό της πληρότητας. Ένα αξιωματικό σύστημα είναι πλήρες αν κάθε πρόταση που είναι διατυπωμένη στο πλαίσιό του μπορεί να χαρακτηριστεί, με βάση τα αξιώματά του, αληθής ή ψευδής. Για παράδειγμα, το σύστημα της λεγόμενης «ουδέτερης γεωμετρίας», που αποτελείται από τα τέσσερα πρώτα αξιώματα του Ευκλείδη, δεν είναι πλήρες επειδή με βάση αυτά τα τέσσερα αξιώματα η πρόταση «από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μία και μόνο παράλληλη σε αυτήν» είναι «μη αποκρίσιμη», δεν μπορεί, δηλαδή, να αποδειχθεί ούτε ότι είναι αληθής, ούτε ότι είναι ψευδής. Αν μια πρόταση είναι μη αποκρίσιμη στο πλαίσιο ενός συστήματος αξιωμάτων, είτε αυτή είτε η άρνησή της θα μπορούσε να επισυναφθεί στο σύστημα, δημιουργώντας ένα νέο «πλουσιότερο» σύστημα για το οποίο θα έπρεπε να τεθεί εκ νέου το ερώτημα αν είναι πλήρες ή όχι.

Λέει ο αφηγητής: «Ξέρω, όμως, αυτό για το θεώρημα: ότι μας πηγαίνει –για να χρησιμοποιήσω λέξεις που δεν είναι όλες δικές μου– στο σημείο όπου δύο δρόμοι αποκλίνουν και πρέπει να διαλέξουμε, και η επιλογή δεν είναι καθόλου ευχάριστη».

Το 1931, ο εικοσιπεντάχρονος μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ δημοσίευσε ένα άρθρο^[1] που ξεκαθάρισε την κατάσταση, με τρόπο, όμως, που διέψευδε αρκετές προσδοκίες και οδηγούσε νομοτελειακά σε συνολική ανατροπή της αντίληψης για τη θέση και τη φύση των μαθηματικών. Συγκεκριμένα απέδειξε ότι:

1) Κάθε αξιωματικό σύστημα, αρκετά πλούσιο ώστε να στηρίζει τους στοιχειώδεις κανόνες της αριθμητικής, θα είναι αναγκαστικά μη πλήρες, θα περιέχει δηλαδή προτάσεις που δεν θα μπορούν να χαρακτηριστούν ούτε ως αληθείς ούτε ως ψευδείς.

2) Η συνέπεια ενός αξιωματικού συστήματος δεν μπορεί να αποδειχθεί στο πλαίσιο του ίδιου του συστήματος. Έτσι, για να αξιολογήσουμε ένα σύστημα, θα πρέπει να βγούμε έξω από αυτό.

Το δεύτερο στοιχείο του θεωρήματος είναι εύκολα αποδεκτό σ’ ένα «μη μαθηματικό» αξιακό πλαίσιο. Πράγματι, η αυτοαξιολόγηση ενός συστήματος ιδεών δεν γεννάει κατά κανόνα εμπιστοσύνη. Ωστόσο, ο μύθος της απόλυτης αντικειμενικότητας των μαθηματικών έτρεφε την προσδοκία –μια προσδοκία που με τον τρόπο τους είχαν υποθάλψει κορυφαίοι διανοητές όπως ο Φρέγκε, o Ράσελ και παλαιότερα o Λάιμπνιτς– ότι η «κορωνίδα των επιστημών» θα μπορούσε να αποτελέσει εξαίρεση. Ας επισημάνουμε, ωστόσο, ότι οι αλυσιδωτές αντιδράσεις που προέκυψαν από τις διάφορες ερμηνείες και παρερμηνείες του θεωρήματος είχαν πολύ μεγαλύτερο αντίκτυπο στη φιλοσοφία και στις θεωρίες των ιδεών, παρά στα μαθηματικά:

Δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι τα μαθηματικά δεν περιέχουν αντιφάσεις, άρα τα μαθηματικά δεν είναι καλώς θεμελιωμένα, άρα, αφού ο τεχνικός πολιτισμός βασίζεται στα μαθηματικά, ούτε αυτός είναι καλώς θεμελιωμένος, άρα…

Όμως τη μεγαλύτερη «ζημιά» την προκάλεσε το πρώτο στοιχείο: όσο και αν εμπλουτισθεί μια θεωρία, θα περιέχει μονίμως αναπάντητα ερωτήματα, ερωτήματα στα οποία η εκάστοτε διαθέσιμη γνώση δεν θα μπορεί να δώσει παρά ανεπιβεβαίωτες, κατ’ εικασίαν απαντήσεις, υποκείμενες σε ανατροπή μετά από κάθε εμπλουτισμό του αξιωματικού μας συστήματος. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά «υποβιβάζονται» στην κατηγορία των πειραματικών επιστημών και ακολουθούν την τετριμμένη διαδικασία: διατύπωση αξιωμάτων – ανάπτυξη θεωρημάτων – δημιουργία μοντέλων που να επαληθεύουν τη θεωρία. Ένα μοντέλο που οικοδομείται έξω από τη θεωρία για να αξιολογήσει τη θεωρία, καθορίζει και τα όριά της. Η εμφάνιση μιας μη αποκρίσιμης πρότασης –την ύπαρξη της οποίας εγγυάται το θεώρημα του Γκέντελ– οδηγεί σε μια διακλάδωση: επιλέγω ως νέο αξίωμα τη θέση ή την άρνηση αυτής της μη αποκρίσιμης πρότασης, δημιουργώντας έτσι δυο νέες θεωρίες, εξίσου έγκυρες, που η καθεμιά θα ανταποκρίνεται στο δικό της μοντέλο.

Έτσι πιστεύω ότι πρέπει να διαβαστεί ο τίτλος «Υπό το φως των όσων γνωρίζουμε» του μυθιστορήματος του Rahman. Τόσο ο Ζαφάρ όσο και ο φίλος του που έχει αναλάβει τον ρόλο του αφηγητή πορεύονται «υπό το φως των όσων [σε κάθε φάση της ιστορίας τους] γνωρίζουν», διατυπώνοντας εύλογες εικασίες που διαδοχικά ανατρέπονται με την εισαγωγή νέων αξιωμάτων – δηλαδή με την επιλογή του χαρακτηρισμού μη αποκρίσιμων προτάσεων ως αληθών ή ψευδών:

Η Έμιλυ είναι ένα εγωπαθές, ανεύθυνο, παραχαϊδεμένο κορίτσι, που με κάθε του ενέργεια οδηγεί τον Ζαφάρ σε αδιέξοδα, που μεταχειρίζεται όλα τα συνηθισμένα, καθώς και πρωτότυπα τεχνάσματα για να κρατήσει τον Ζαφάρ στη σφαίρα επιρροής της, εμποδίζοντάς τον να προχωρήσει στη ζωή του, με ή χωρίς αυτήν. Τουλάχιστον αυτήν τη γνώμη διαμορφώνουμε –υπό το φως των όσων γνωρίζουμε– μέχρι που μια ενέργεια της Έμιλυ σώζει τη ζωή του Ζαφάρ. Ήταν μια συνειδητή, σοφά σχεδιασμένη στρατηγική της Έμιλυ, ή η σωτηρία του Ζαφάρ ήταν ένα τυχαίο παρεπόμενο της γενικότερης στάσης ζωής της Αγγλίδας αριστοκράτισσας; Πρόταση μη αποκρίσιμη μέχρι το τέλος του βιβλίου. Η αυθαίρετη επιλογή από τον αναγνώστη της μιας ή της άλλης λύσης, ως νέου αξιώματος, θα επαναπροσδιορίσει τη στάση του απέναντι στον μύθο, θα τον οδηγήσει σε μια νέα ανάγνωση – στην ουσία θα ξαναγράψει την ιστορία με τα δικά του κριτήρια.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Γκέντελ, η απόδειξη της συνέπειας δεν μπορεί να ενυπάρχει στη θεωρία. Για να την ελέγξουμε οφείλουμε να βγούμε έξω από αυτήν, να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο και μέσω αυτού να καταλήξουμε στα συμπεράσματά μας. Το μοντέλο της σχέσης Ζαφάρ – Έμιλυ είναι η ένθετη ιστορία του Αλεσσάντρο Μοΐζι Γιακομπόνι. Παίρνοντας τις αποστάσεις του από τον κυρίως μύθο και εξετάζοντας το μοντέλο, ο αναγνώστης, στον ρόλο του ερευνητή μαθηματικού, θα εξετάσει τη συνέπεια και, ενδεχομένως, θα διαπιστώσει ότι έχει παραβλέψει κάποια καθοριστικής σημασίας αξιώματα.

«…είναι ένα θεώρημα που φέρει το απλό μήνυμα ότι τα απώτατα όρια των όσων θα μπορέσουμε να μάθουμε ποτέ είναι πολύ μακριά από τα όρια των όσων είναι αληθή, ακόμα και στα μαθηματικά. Με κάποια έννοια, λοιπόν, ξεκίνησα για να περιπλανηθώ σε κάποια μέρη που δεν έχουν ανακαλυφθεί, χωρίς τη βεβαιότητα ότι η ανακάλυψή τους είναι εφικτή…» Έτσι περιγράφει το «σχέδιο δράσης» του ο αφηγητής, όταν στο πρώτο κεφάλαιο δηλώνει την απόφασή του να αφηγηθεί την ιστορία του Ζαφάρ.

Το μυθιστόρημα του Rahman δεν είναι το μοναδικό έργο μυθοπλασίας όπου εμπλέκεται το θεώρημα του Γκέντελ. Τουλάχιστον μια δωδεκάδα συγγραφείς (μεταξύ των οποίων και ο γράφων) έχουν δημοσιεύσει μυθιστορήματα, διηγήματα και θεατρικά έργα που, με τον έναν ή τον άλλον τρόπο, αναφέρονται στο θεώρημα της μη πληρότητας. Αν και στα περισσότερα από αυτά η παρουσία του θεωρήματος είναι πολύ πιο έντονη, νομίζω ότι στο έργο του Rahman είναι πολύ πιο ουσιαστική, επειδή δεν εμπλέκεται μόνο στη θεματολογία αλλά, κυρίως, στη δομή.

Το μυθιστόρημα του Rahman θα μπορούσε να χαρακτηριστεί και ως η ιστορία μιας φιλίας. Ένας Πακιστανός και ένας Μπαγκλαντεσιανός, ανάμεσα στους οποίους ορθώνεται μία από τις πιο βάρβαρες γενοκτονίες του τέλους του εικοστού αιώνα, ένας γόνος εύπορης οικογένειας κι ένα παιδί μεγαλωμένο σε άθλια ερειπωμένα κτίρια, ένας μέτριος νους που έχει πλήρη συναίσθηση της μετριότητάς του και μια ιδιοφυία που αδυνατεί να συλλάβει το ίδιο της το μέγεθος, συνδέονται με μια παράξενη, αφύσικη, δαιδαλώδη φιλία. Μπορεί αυτό το σύστημα να είναι μη αντιφατικό; Σύμφωνα με το θεώρημα του Γκέντελ, για να το ελέγξουμε, θα πρέπει να καταφύγουμε σε ένα μοντέλο· και το μοντέλο που επιλέγει ο Rahman είναι η φιλία του Κουρτ Γκέντελ με τον Αϊνστάιν, μια φιλία δυο ατόμων εξίσου ετερόκλητων με τους ήρωες της ιστορίας μας: ασκητικός, αγοραφοβικός, εμμονικός ο ένας, bon viveur, επικοινωνιακός και κοσμικός ο άλλος. Τι τους ενώνει; Η απάντηση του συγγραφέα είναι μια φωτογραφία. Μια φωτογραφία του Γκέντελ και του Αϊνστάιν, τραβηγμένη από μακριά, με τους δυο άνδρες να περπατούν πλάι πλάι, με τις πλάτες γυρισμένες προς τον φακό, σ’ ένα μονοπάτι δίχως τέλος. Ίσως γιατί και οι δυο τους έδωσαν απαντήσεις σε πολλά ερωτήματα· δύσκολες, πρωτότυπες, απροσδόκητες απαντήσεις που ανέτρεψαν ριζικά τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο. Συνεχίζοντας, όμως, την αναζήτηση της απόλυτης αλήθειας, σκόνταψαν και οι δύο σε τείχη αδιάβατα, έθεσαν στον εαυτό τους ερωτήματα που δεν μπόρεσαν να απαντήσουν. Ερωτήματα που τους βασάνισαν, τους πίκραναν, τους βύθισαν στην κατάθλιψη – κι όμως συνέχισαν να περπατούν· γιατί κανένα αξιωματικό σύστημα δεν είναι πλήρες. Αν είναι συνεπές, θα περιέχει αναγκαστικά μη αποκρίσιμες προτάσεις…

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

Για το θεώρημα της μη πληρότητας προτείνονται τα βιβλία:

• Ε. Nagel, J.R. Newman, Το θεώρημα του Gödel, Τροχαλία, 1991
• Goldstein, Rebecca, Αιχμάλωτος των μαθηματικών, Τραυλός, 2006
• Επίσης, η εισαγωγή του R. B. Braithwaite στην αγγλική μετάφραση του θεωρήματος (βλ. υποσημείωση).

Άλλα έργα μυθοπλασίας όπου εμπλέκεται το θεώρημα του Gödel:

• Gaurav Suri & Hartosh Singh Bal, Ο μαθηματικός και ο δικαστής, Αλεξάνδρεια, 2018.
• Grannec, Y., H θεά των μικρών θριάμβων, Αλεξάνδρεια, 2016.
• Matinez, G., Η ακολουθία της Οξφόρδης, Πατάκης 2004.
• Δοξιάδης Α. & Παπαδημητρίου Χ., Logicomix, Ίκαρος, 2008.
• Δοξιάδης Α., Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ, Καστανιώτης, 2001.
• Λιθαρής, Χριστόδουλος, επιμ., Ιστορίες μαθηματικής φαντασίας, Αλεξάνδρεια, 2018.

Ειδικότερα τα διηγήματα:

• G. Zebrowski, Η κατάρα του Γκέντελ
• Greg Evan, O φωτοβόλος
• Frabetti, Carlo, Το βιβλίο κόλαση, Opera, 2003.
• Μιχαηλίδης Τεύκρος, Πυθαγόρεια εγκλήματα, Πόλις, 2006.